严谨与模糊——数学教学之我见
江西世界杯外围竞猜 田先发
关键词：数学 严谨性 模糊
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学,具有严密的符号体系、独特的公式结构、形象的图像语言,对培养学生思维品质的作用无可替代。严谨性是数学科学的重要特征之一。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。
但是由于学生知识所限以及不同的教学目标要求，教学中对一些数学概念在学生能够理解基础上不一定强调其严谨性。学生受到能力、知识限制，有时反而越解释学生越糊涂，因此数学教学中一定要把握好严谨性，哪些地方需要强调严谨，哪些地方需要模糊，值得世界杯外围竞猜平时教学中思考。
（—）在保证学生理解的基础上把握内容的科学性。
考虑学生的理解能力和教学上的实际需要，中学数学内容的严谨性要求可以适当降低，但必须保证对相应的数学内容要有正确的理解和掌握。
例如，概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量重复实验，一个事件 A 出现的次数 m 和总的实验次数 n 之比，称为事件 A 在这 n 次实验中出现的频率。当实验次数 n 很大时，频率将稳定在一个常数附近。 n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率。世界杯外围竞猜要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了“可能性”，这指的就是概率。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。有的人去探讨“实验”等词的定义。事实上，“做一次实验”并不难理解。如掷一枚硬币，摸两个球，等等。个别复杂的实验也不难向学生解释。把“做一次实验”定义为“条件实现一次”，反而更难让人理解。什么叫“条件”？什么叫“实现”？这显然是不恰当的。
例如，世界杯外围竞猜可以用“无限接近于”等较形象的语言来描述数列或变量的极限概念，而不用“ε-δ”式的严格定义。但是，在结合实例进行描述时，必须讲清楚，这是某些无穷变量变化时的一种变化趋势，不要让学生误以为这是取无穷变量的近似值。
（二）在保证学生理解的基础上发展学生的逻辑思维能力。
发展学生的逻辑思维能力，是中学数学课的重要目的之一。而数学的严谨性要求，正是发展学生逻辑思维的核心环节。逐步加强教学内容的严谨性，并使学生真正消化理解，是培养学生逻辑思维的重要措施，也为今后教学进一步提高严谨性创造了有利条件。不断地丰富学生的数学语言就是一项十分关键的工作，它不仅达到上述目的，还有利于提高学生阅读数学书籍的能力。
例如在“任意角三角函数”课上教师从复习初中三角函数定义出发，引导学生回忆初中三角函数相关概念和性质。为了数学的严谨性，教师对任意角三角函数又重新作了定义，这就产生了复习初中三角函数定义目的是什么呢？虽然学生掌握了任意角三角函数定义，是否真正知道其中内涵呢？值得怀疑。
数学很多定义是在学生不断的认识过程中进行深化的，如函数概念在初中学生就有所涉及，其概念只作了描述性定义，高中虽然也讲了函数定义，仍然是不严密的。因此世界杯外围竞猜在教学中有些数学定义应以学生理解为目标，不一定追求其严谨性。如“同角三角函数之间关系”一节教学，同角三角函数中正弦、余弦的平方关系，直接得出对任意角都成立。教学中教师试图用 =(y/r)2+(x/r)2=1，事实上这里应用了三角形的勾股定理，当角α终边在坐标轴上时，它不构成直角三角形，证明时须分类讨论，而教师教学中很少考虑此处的严谨性。反正不严谨不如直接应用这一结论，勿须再证明α为任意角时正弦、余弦平方关系。
基于以上思想，世界杯外围竞猜可以对课程进行重新设计。如任意角三角函数定义。可以让学生复习初中所熟知的锐角三角函数定义。强调正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边。以三角形的一边x轴，顶点为坐标轴原点建立直角坐标系，注意邻边，对边与点的坐标关系。转化为正弦函数是纵坐标比斜边，余弦函数是横坐标比斜边，正切函数是纵坐标比横坐标。通过练习：已知角α终边上一点P（－3,4）求角α三角函数值。强化角的任意性。
(三)在保证学生理解的基础上注意教学语言的严谨性。
生活中有这样一个例子，讲一对夫妻劳动完回家，丈夫说：“我挑了10担水，你挑了5担水，我比你多一半，你比我少一半，应该你做饭。”妻子听了觉得理在其中，起身做饭。其实，丈夫的说法是错误的，应该是“我比你多一倍，你比我少一半”。在生活中像这样的数理错误的例子不胜枚举，但作为一个数学老师在课堂上是不能犯这样的错误。
在课堂教学中，“大概”¸“可能”¸“估计”之类的模糊性语言只会带来学生思维上的混乱，认识上的模糊。严谨的数学语言是不能模棱两可的。正所谓“失之毫厘，谬以千里”。数学语言是一种科学构造的语言，必须严谨周密，符合逻辑。
例如在教学《世界杯外围竞猜》这一节课时，教师对三角形下定义时，这样说：“由三条线段组成的图形是三角形”。而这是不严密的。因为这三条线段不能保证他们是封闭的。
又例如在讲《世界杯外围竞猜》一节时，教师这样对平行线下定义：“两条不相交的直线叫平行线。”这其实是错误的，因为定义的前提是“在同一平面内”。像在圆锥曲线的教学中都应该注意这一点。
又例如在教学中有些教师经常有以下的一些错误的说法：“这两条平行线画得不平行”，“这个直角画得不是 ”等等。还有教师在教学中必须注意“数与数字”“时间与时刻”等数学概念不能混为一谈。
(四)在保证学生理解的基础上注意学生语言表达的严谨性。
学生在表述数学概念时，往往不注意语言的规范性和严谨性，这时教师应该及时予以纠正，不能让学生造成错误的概念记忆。
例如教师要及时向学生讲明“不在任一平面内”与“不在同一平面内”的错误所在，讲明“将直线画短些”和“将平面画小点”的错误之处。
(五)在保证学生理解的基础上注意教学目标的适可性及严谨性。
新课程教学目标不但重视双基目标而且对其赋予新的内涵．新“双基”与过去相比，内容有所增减，例如对三角恒等变形、排列组合要求降低，增加了统计、算法与框图、导数与积分等．它更强调“双基”的形成过程，强调其中蕴涵的思想方法．落实双基是教师钻研教材和设计教学必须明确的问题，但由于认识上的片面，课堂教学中双基目标缺乏或含糊不清，教学中人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容仍然存在．例如，对集合中“三性”的训练过于细微，对定义域过于人为化的技巧训练，等等．在运算技能的训练中，经常人为地制造一些技巧性很强的高难度计算题，或者技能性不强，但是计算非常繁琐、意义不大的计算题．这样的训练往往使学生感到枯燥，世界杯外围竞猜对学生的基本技能训练，不单纯是为了熟练技巧，更重要的是使学生通过训练更好地理解数学知识的实质，体会数学的价值，因此技能训练必须有利于学生认识数学的本质．
(五)在保证学生理解的基础上注意教学手段的适当性及严谨性。
数学新课程倡导学生合作交流，目的是让每个学生都动起来，形成主动学习的愿望，培养积极参与的意识。但少数年轻教师出现“放羊式”的课堂，致使自主合作学习流于形式，教学收获甚微。如在《世界杯外围竞猜》的教学中，上课伊始教师就让学生对照《世界杯外围竞猜》教学讨论其性质与应用。期间列举题型，通过各组竞赛的手段实行赢分制，美其名曰：强调团队精神，一节“放羊式”的课在嘈杂中落幕。学生是数学学习的主人，这是新课程的基本理念。在全新的教育理念下，教师的教学方式、学生的学习方式确实都应该发生根本性的变化。但在突出学生主体的同时，也强调教师的引导和组织作用。师生互动才能分享彼此的思考、经验和知识，求得共同发展。
在新课程理念的冲击下，情景创设几乎成了数学课堂教学必不可少的环节。在情景创设时，不少教师情景创设目的不明确，创设的情景只是作为课堂摆设，情景内容脱离实际，创设的形式呆板单一，情景创设不符合学生的年龄特征，滥用多媒体等。世界杯外围竞猜认为，数学课并不是每节数学课都能够创设情景，也不是每节课都需要创设情景，更不是每节课创设的情景都能起到良好的教学效果。对于一些难以创设情境的课题，如果采取开门见山、单刀直入的方式，同样可以起到先声夺人的作用。
新课程和新教材突出了计算机多媒体辅助教学。计算机多媒体辅助教学，将逐渐成为现代教学技术手段的主流之一。但是，由于自制课件或商品课件的设计与制作比较粗糙，有的课件不过是课本搬家，只能起到小黑板的作用；有的课堂干脆是课件“放电影”，教师成了放映员，学生成了地地道道的观众；有的教师为了展示课件的精心制作，过度采用无关的图像、音乐、动画等，使学生的注意力放在精彩的画面和悦耳的音乐上，无法专心于其蕴含的教学内容；有的课件由于制作技术的局限性或教者操作不当，人机对话取代了人际对话，师生亲和力大打折扣；有相当一部分人对多媒体辅助教学不甚了解，片面认为其效果不如传统的教学技术手段。世界杯外围竞猜应该充分认识到计算机是辅助教学，而不是教学的主宰，世界杯外围竞猜应根据内容精心制作合适的多媒体课件，使之更加贴近学生的认知结构，进而达到最佳的教学效果。
总之，新课程下，世界杯外围竞猜要不断努力地摸索出新的教学方式，改变教学理念，提高学生们的学习兴趣。只有边实践边反思边改进，努力提升自己的综合能力，才能找到更适合学生终身发展的教学方法。
数学内容的严谨性要求，应当是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到的。所以，必须充分估计学生的接受能力，要从发展的观点考虑学生的潜力，使数学的严谨性要求不断提高。
参考文献1《于数学严谨性教学思考》陆荣林
2《关于数学的严谨性》 刘武
3 《如何了解高中数学新课程教学中的问题和对策》
4《新课程高中数学教学中的一些问题之我见》
